x^5- 1/ x-1= x^4+ x^3+ x^2+ x+ 1 

<=> x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

<=> x^5 - 1 = x^5 + x^4 + x^3  + x^2 + x - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1

<=> x^5 - 1 = x^5 - 1 (đúng)

=> đpcm

BĐT này sai nha bạn.

Nó chỉ đúng khi \(x>0\)

Với \(x>0\) thì bất đẳng thức tương đương với \(x^2+1\ge2x\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\) Điều cần chứng minh là đúng

Xét hàm số h(x) trên [0; + ∞ )

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; + ∞ );

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x)  ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < + ∞

\(\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\)

Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{1}=2\)

Vậy \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)

1 cách chứng minh khác (chứng minh tương đương)

\(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh

a/ ĐK: $x\ne -5$

$\dfrac{6x^2+30x}{4}=\dfrac{6x(x+5)}{4}=\dfrac{3x(x+5)}{2}$ 

Đề này sai

b/ ĐK: $x\ne \pm 1$

$\dfrac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}\\=\dfrac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\=\dfrac{x+2}{x-1}$

$\to$ ĐPCM

Câu a sai đề nhé.

a, Xét \(VT=\dfrac{3x\left(x+5\right)}{2\left(x+5\right)}=\dfrac{3x}{2}\)

\(VP=\dfrac{6x^2+30x}{4}=\dfrac{6x\left(x+5\right)}{4}=\dfrac{3x\left(x+5\right)}{2}\)

Vậy \(VT\ne VP\)hay đpcm ko xảy ra 

b, \(VP=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x^2-1}=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{x+2}{x-1}=VT\)

Vậy ta có đpcm 

a) \(N=\left(x-5\right)\left(x+2\right)+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(3x-\dfrac{1}{2}x^2\right)+5x^2\)

\(=x^2+2x-5x-10+3x^2-12-3x+\dfrac{1}{2}x^2+5x^2\)

\(=\dfrac{19}{2}x^2-6x-22\)

Vậy biểu thức trên phụ thuộc vào biến x.

b) \(\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)=y^3-1\)

Giải:

VT = \(\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)\)

\(=y^3+y^2+y-y^2-y-1\)

\(=y^3-1\)

Vậy \(\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)=y^3-1\).

Giải:

a) \(N=\left(x-5\right)\left(x+2\right)+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(3x-\dfrac{1}{2}x^2\right)+5x^2\)

\(\Leftrightarrow N=x^2-3x-10+3\left(x^2-4\right)-3x+\dfrac{1}{2}x^2+5x^2\)

\(\Leftrightarrow N=x^2-3x-10+3x^2-12x-3x+\dfrac{1}{2}x^2+5x^2\)

\(\Leftrightarrow N=-10-18x+\dfrac{19}{2}x^2\)

Vậy biểu thức trên phụ thuộc vào biễn x

b) \(\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)\)

\(=y^3-y^2+y^2-y+y-1\)

\(=y^3-\left(y^2-y^2\right)-\left(y-y\right)-1\)

\(=y^3-1\)

Vậy ...

Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có: y’ =  > 0 với ∀ x ∈ R.

⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)

⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0

hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)

⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).

a, Ta có:  sin 4 x + cos 4 x = sin 2 x + cos 2 x 2 - 2 sin 2 x . cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x . cos 2 x

b, Ta có:  sin 6 x + cos 6 x = sin 2 x + cos 2 x 3 - 3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x + cos 2 x =  1 - 3 sin 2 x cos 2 x